Materi Kuliah Matriks dan Ruang Vektor
Pertemuan 1 Matriks Ruang Vektor SPL & Matriks
Sistem persamaan linier (SPL)adalah suatu sistem yang terdiri atas dua atau lebih persamaan linier. Yang mana dalam sistem persamaan linier semua persamaan digambarkan dalam satu diagram kartesius.
Tujuan dari sistem Persamaan linier (SPL) adalah untuk mencari nilai koordinat, yang mana dua persamaan linier yang diketahui saling bertemu, atau mempunyai nilai koordinat yang sama.
Untuk mencari nilai pertemuan dari dua persamaan linier adalah dapat menggunakan metode Substitusi dan metode eliminasi
Jika sebuah sistem persamaan linier digambarkan dalam sebuah diagram kartesius maka nilai sistem persamaan linier adalah merupakan pertemuan dari dua garis persamaan linier tersebut.
Dalam matematika, matriks adalah kumpulan bilangan, simbol, atau ekspresi, berbentuk persegi panjang yang disusun menurut baris dan kolom. Bilangan-bilangan yang terdapat di suatu matriks disebut dengan elemen atau anggota matriks.
Pemanfaatan matriks misalnya dalam menemukan solusi sistem persamaan linear. Penerapan lainnya adalah dalam transformasi linear, yaitu bentuk umum dari fungsi linear, misalnya rotasi dalam 3 dimensi.
Matriks seperti halnya variabel biasa dapat dimanipulasi, seperti dikalikan, dijumlah, dikurangkan dan didekomposisikan. Dengan representasi matriks, perhitungan dapat dilakukan dengan lebih terstruktur.
Pertemuan 2 Matriks Ruang Vektor Determinan Matriks
Untuk setiap matriks persegi (bujur sangkar), ada satu bilangan tertentu yang disebut determinan.
• Determinan adalah jumlah semua hasil kali elementer bertanda dari suatu matriks bujur sangkar.
Disimbolkan dengan:
det[A] = |A|
Jika |A| ≠ 0 disebut matriks non singular
• Metode untuk menghitung determinan matriks:
1. Metode Sarrus
2. Ekspansi Kofaktor (Teorema Laplace)
3. Eliminasi Gauss
PDF PRVW | DWNLD
• Determinan adalah jumlah semua hasil kali elementer bertanda dari suatu matriks bujur sangkar.
Disimbolkan dengan:
det[A] = |A|
Jika |A| ≠ 0 disebut matriks non singular
• Metode untuk menghitung determinan matriks:
1. Metode Sarrus
2. Ekspansi Kofaktor (Teorema Laplace)
3. Eliminasi Gauss
PDF PRVW | DWNLD
Pertemuan 3 Matriks Ruang Vektor Ruang 2D dan 3D
Skalar (Luas, Panjang, Massa, Waktu dan lain - lain), merupakan suatu besaran yang mempunyai nilai mutlak tertentu.
Vektor (Gaya, Percepatan, Berat, Kecepatan dan lain - lain), merupakan suatu besaran yang mempunyai nilai mutlak dan arah tertentu.
Vektor disajikan secara geometris sebagai ruas garis berarah atau panah dalam ruang berdimensi 2 dan ruang berdimensi 3.
Arah panah menentukan arah vektor dan panjang panah menentukan besarnya vektor.
Vektor (Gaya, Percepatan, Berat, Kecepatan dan lain - lain), merupakan suatu besaran yang mempunyai nilai mutlak dan arah tertentu.
Vektor disajikan secara geometris sebagai ruas garis berarah atau panah dalam ruang berdimensi 2 dan ruang berdimensi 3.
Arah panah menentukan arah vektor dan panjang panah menentukan besarnya vektor.
Pertemuan 4 Matriks Ruang Vektor Umum
Konsep sebuah vektor yang menyatakan serangkaian himpunan aksiomayang jika dipenuhi oleh sekelompok obyek, maka obyek tersebut dinamakan vektor. Aksioma-aksioma tersebut akan dipilih dengan mengabstraksikan sifat-sifat yang paling penting dari vektor-vektor pada R
Pertemuan 5 Matriks Ruang Vektor Nilai Vektor Eigen
Nilai Eigen () adalah nilai karakteristik dari suatu matriks berukuran n x n, sementara vektor Eigen () adalah vektor kolom bukan nol yang bila dikalikan dengan suatu matriks berukuran n x n akan menghasilkan vektor lain yang memiliki nilai kelipatan dari vektor Eigen itu sendiri." Definisi tersebut berlaku untuk matriks dengan elemen bilangan real dan akan mengalami pergeseran ketika elemen berupa bilangan kompleks. Untuk setiap nilai Eigen ada pasangan vektor Eigen yang berbeda, namun tidak semua persamaan matriks memiliki nilai Eigen dan vektor Eigen. Nilai Eigen dan vektor Eigen berguna dalam proses kalkulasi matriks, di mana keduanya dapat diterapkan dalam bidang Matematika murni dan Matematika terapan seperti transformasi linear.
Kumpulan pasangan nilai dan vektor Eigen dari suatu matriks berukuran n x n disebut sistem Eigen dari matriks tersebut. Ruang Eigen dari merupakan kumpulan vektor Eigen yang berpasangan dengan yang digabungkan dengan vektor nol. Istilah Eigen seringkali diganti dengan istilah karakteristik, di mana kata ‘’’Eigen’’’ yang berasal dari bahasa Jerman memiliki arti ‘’asli’’ dalam konteks menjadi ciri khas atau karakteristik dari suatu sifat.
) adalah nilai karakteristik dari suatu matriks berukuran n x n, sementara vektor Eigen 
Kumpulan pasangan nilai dan vektor Eigen dari suatu matriks berukuran n x n disebut sistem Eigen dari matriks tersebut. Ruang Eigen dari merupakan kumpulan vektor Eigen yang berpasangan dengan yang digabungkan dengan vektor nol. Istilah Eigen seringkali diganti dengan istilah karakteristik, di mana kata ‘’’Eigen’’’ yang berasal dari bahasa Jerman memiliki arti ‘’asli’’ dalam konteks menjadi ciri khas atau karakteristik dari suatu sifat.
Pertemuan 6 Matriks Ruang Vektor Transformasi Elementer
Yang di maksud Transformasi Elementer pada matriks adalah operasi sbb:
1. Bij
: Pergantian baris ke i dengan baris ke j
2. Kij
: Pergantian kolom ke i dengan kolom ke j
3. Bi(λ)
: Elemen-elemen baris ke i masing-masing dikalikan dengan skalar λ≠0
4. Ki(λ)
: Elemen-elemen kolom ke j masing-masing dikalikan dengan skalar λ≠0
5. Bij(λ)
: Elemen-elemen baris ke i masing-masing ditambah dengan λ kali baris ke j
6. Kij(λ)
: Elemen-elemen kolom ke i masing-masing ditambah dengan λ kali kolom ke j
1. Bij
: Pergantian baris ke i dengan baris ke j
2. Kij
: Pergantian kolom ke i dengan kolom ke j
3. Bi(λ)
: Elemen-elemen baris ke i masing-masing dikalikan dengan skalar λ≠0
4. Ki(λ)
: Elemen-elemen kolom ke j masing-masing dikalikan dengan skalar λ≠0
5. Bij(λ)
: Elemen-elemen baris ke i masing-masing ditambah dengan λ kali baris ke j
6. Kij(λ)
: Elemen-elemen kolom ke i masing-masing ditambah dengan λ kali kolom ke j
Pertemuan 7 Matriks Ruang Vektor Matriks Invers
Definisi :
Jika A dan B adalah sebarang matriks bujur sangkar sedemikian sehingga AB=BA=I. Maka B merupakan invers dari A atau A-1
Untuk mendapatkan A-1, dapat dilakukan dengan cara :
1. Metode Matriks Adjoint / Determinan
2. Metode Operasi Baris Elementer (OBE) atau Operasi Kolom Elementer (OKE)
Jika A dan B adalah sebarang matriks bujur sangkar sedemikian sehingga AB=BA=I. Maka B merupakan invers dari A atau A-1
Untuk mendapatkan A-1, dapat dilakukan dengan cara :
1. Metode Matriks Adjoint / Determinan
2. Metode Operasi Baris Elementer (OBE) atau Operasi Kolom Elementer (OKE)
Materi Kuliah Matriks dan Ruang Vektor
Reviewed by MCH
on
September 11, 2016
Rating:
Reviewed by MCH
on
September 11, 2016
Rating:
No comments: